sábado, febrero 19, 2005

Numeros familiares

Verán, la noticia afirma que probablemente se haya encontrado el 42º número de Mersenne.
Reconozco que no es un tema candente y de rabiosa actualidad, pero a mí me resulta suficientemente curioso para reseñarlo en un post. Les pido por adelantado disculpas si les interrumpo demasiado de la concentración necesaria en el día de reflexión sobre la Constitución Europea. O esperen al lunes para leerlo...

¿Quien fue Marin Mersenne? Un filósofo y científico francés (1588-1648), amigo íntimo de Descartes y desde 1611 jesuita. Fue profesor de filosofía en Nevers (1614-1620). La parte de su biografía que nos interesa es la que dedica a las matemáticas:
  • Fue el autor de "Cognitata Physico-Mathematica".
  • Su correspondencia con Fermat, entre otros matemáticos, contribuyó al desarrollo de la teoría de números.
  • En la celda de su convento en París se reunían algunos de los matemáticos más famosos de la época (Pascal, Fermat, Descartes y Desargues)
¿Qué es un número de Mersenne? un número de la forma Mp= 2p -1.
¿Y un primo de de Mersenne? pues es un número de Mersenne en el que tanto p como Mp son primos.
¿Y qué? pues que es una excelente forma de conseguir números primos enooooormes.
Para hacernos una idea:
el 41º primo de Mersenne fue descubierto el 28 de mayo del 2004. El númerito tiene p=24.036.583 y 7.235.733 digitos.
Comprenderán que llegar hasta estos números se exige unos tiempos de computación impresionantes. De hecho los últimos 8 primos se han encontrado gracias a GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search Status), un programa al estilo SETI (es lo que se denomina sistemas distribuidos)

Vale, muy bien. Pero falta la pregunta del millón ¿por qué son tan importantes los números primos? Esta es la respuesta: SEGURIDAD en las comunicaciones.
La idea clave es comprender una asimetría en ciertos cálculos. Me explico.Es fácil multiplicar dos números, por grandes que sean requieren poca computación. Pero no es tan fácil el problema inverso: dado un número averiguar sus factores. La dificultad aumenta no linealmente, sino exponencialmente cuanto más grandes son los números factores. Y es máxima cuando, además, son primos. Es lo que se denomina problema de la factorización.
Podemos aprovecharnos de esta dificultad para codificar mensajes, evitando que una persona ajena conozca el contenido.En esta página teneis un ejemplo. Es el fundamento de RSA.
Otro ejemplo de este principio lo tenemos en la futura firma digital.

Por último, un detalle. Aún no han facilitado el primo nº 42 de Mersenne. Ello es debido a que aún están investigando si verdaderamente es primo. Para ello deben aplicar tests de primalidad, como el de Rabin.

Tranquilos, no será el último nº primo. Sabemos desde Euclides que existen infinitos...

Una curiosidad. Carl Sagan, en su novela "Contact", contaba cómo los extraterrestres escogían una secuencia de primos para identificarse frente a la Raza Humana.

Lo del cifrado cuántico lo vemos otro día ¿ok?

Via Kriptopolis.
Página web de GIMPS. Para descargarse el programa y colaborar con la búsqueda, aquí.
Criptonomicón es una web del CSIC que trata de todos estos temas. Reconozco que me vuelvo un poco "paranoico" al leer sobre estos temas.

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